什么是傅立叶变换？什么是频谱？

得益于你校把信号系统这门课放在复变函数前面学，导致我一直有点懵：这傅里叶变换怎么就冒出来了个 \(j\)？频谱图像又怎么会只有几根小棍子？

我们知道，任何信号都可以由若干个正弦信号叠加而成。下图是方波信号的分解图。

我们用数学的形式描述上面这句话。假设有一个信号 \(x(t)\)，则其可以表示为许多正弦信号的和：

\[x(t)=A_0+A_1\cos{(2\pi f_1t+\varphi_1)}+A_2\cos{(2\pi f_2t+\varphi_2)}+\cdots+A_N\cos{(2\pi f_N t+\varphi_N)}\]

写成 \(\Sigma\) 求和的形式即为

\[x(t)=A_0+\sum\limits_{k=0}^{N}{A_k\cos{(2\pi f_k t+\varphi_k)}}\]

这里的 \(N\) 可能会非常大，或者就是无穷——因为可能由无数个正弦信号叠加而成。

在上式中，我们实际上是做了一个变换

\[x(t)\longleftrightarrow A_0,(f_1,A_1,\varphi_1),(f_2,A_2,\varphi_2),\cdots,(f_N,A_N,\varphi_N)\]

变换的左半边是关于时间 \(t\) 的函数，右半边的则变为了关于频率 \(f_k\) 的函数。频谱 \(X(f)\) 就是右半边函数的系数。它的值与 \(A_k\) 和 \(\varphi_k\) 有关。

我们不妨结合例子来加深理解：

Example

已知 \(x(t)=A\cos{(2\pi f_0 t+\varphi)}\)，求频谱函数 \(X(f)\)。

\(x(t)\) 的图像为（随手画的，不太标准）：

根据复变函数的知识（如果你开心的话也可以用 Euler 公式推导得到），我们有

\[x(t)&=\frac{A}{2}e^{j(2\pi f_0 t+\varphi)}+\frac{A}{2}e^{-j(2\pi f_0 t+\varphi)}\\&=\frac{A}{2}e^{j\varphi}e^{j2\pi f_0 t}+\frac{A}{2}e^{-j\varphi}e^{-j2\pi f_0 t}\]

上式是关于 \(f\) 的函数，而我们前面提到，频谱 \(X(f)\) 是该函数的系数，因此可以得到

\[X(f)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{A}{2}e^{j\varphi}&f=f_0\\\frac{A}{2}e^{-j\varphi}&f=-f_0\end{array}\right.\]

这时，我们再作出 \(X(f)\) 的图像，也就是频谱图像：

如果我们只考虑幅度 \(A\)，则得到了幅度谱图像：

模仿上面例子的做法，对所有的 \(\cos\) 做拆分，我们得到

\[x(t)&=&A_0+\sum\limits_{k=0}^{N}{A_k\cos{(2\pi f_k t+\varphi_k)}}\\ &=&A_0+\sum\limits_{k=1}^{N}{\left(\frac{A_k}{2}e^{j\varphi}e^{j2\pi f_k t}+\frac{A_k}{2}e^{-j\varphi}e^{-j2\pi f_k t} \right)}\\ &=&a_0+\sum\limits_{k=1}^{N}{\left(a_ke^{j2\pi f_k t}+a_k^*e^{-j2\pi f_k t} \right)}\\\]

其中，

\[a_0=A_0,a_k=\frac{A_k}{2}e^{j\varphi}\]

这，便是傅立叶变换。

同样地，我们可以得到频谱图像：

不管你懂没懂，反正我是懂了。