信号与线性系统笔记
本文为信号与线性系统笔记。
[TOC]
1. 信号与系统
1.2 信号
信号自变量变换
- 平移 $x\left(t\right)\rightarrow x\left(t+t_0\right)/x\left(t-t_0\right)$
- 反转 $x\left(t\right)\rightarrow x\left(-t\right)$
- 连续信号尺度 $x\left(t\right)\rightarrow x\left(at\right)$
- 离散信号尺度 $x\left(n\right)\rightarrow x\left(Nn\right)/x\left(n/N\right)$
信号的特性
-
奇信号和偶信号
-
$x_o\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)-x\left(-t\right)\right]$
$x_e\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)+x\left(-t\right)\right]$
-
-
周期信号和非周期信号
- 连续直流信号：基波周期无意义
- 离散直流信号：基波周期为1
基本常用信号
-
连续时间正弦信号 $x\left(t\right)=A\cos{\left({\Omega}_0t+\varphi\right)}$
-
离散时间正弦序列 $x\left(n\right)=A\cos{\left({\omega}_0n+\varphi\right)}$
-
连续时间指数信号 $x\left(t\right)=c\mathrm{e}^{at}$
- 单边指数信号$f\left(t\right)=\begin{cases}0&t<0\e^{-\frac{t}{\tau}}&t>0\end{cases}$
-
离散时间指数信号 $x\left(n\right)=ca^n$
-
单位阶跃信号
$u\left(t\right)=\left{\begin{array}{lr} 1&t>0\0&t<0\end{array}\right.$
$u\left(n\right)=\left{\begin{array}{lr} 1&n\geq0\0&n<0\end{array}\right.$
-
单位脉冲序列（离散）
$\delta\left(n\right)=\left{\begin{array}{lr} 1&n=0\0&n\neq0\end{array}\right.$
-
$x\left(n\right)\delta\left(n\right)=x\left(0\right)\delta\left(n\right)$
$x\left(n\right)\delta\left(n-m\right)=x\left(m\right)\delta\left(n-m\right)$
-
$\delta\left(n\right)=u\left(n\right)-u\left(n-1\right)$
$u\left(n\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\delta\left(n-k\right)}$
-
-
单位冲击函数（连续）
$\left{\begin{array}{lr} \int_{-\infty}^{+\infty}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=1 &\\delta\left(t\right)=0&t\neq0\end{array}\right.$
-
$\delta\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}u\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$
$\int_{-\infty}^{t}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=u\left(t\right)$
-
冲激函数及其性质
-
定义：$\int_{-\infty}^{t}{x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)\mathrm{d}t}=x\left(t_0\right)$
-
抽样性质：$x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)=x\left(t_0\right)\delta\left(t-t_0\right)$
-
奇偶性：$\delta\left(t\right)=\delta\left(-t\right)$
-
尺度变换：$\delta\left(at\right)=\frac{1}{\left a\right }\delta\left(t\right)$ - 微分：$\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)\delta^{\prime}\left(t\right)\mathrm{d}t}=-x^{\prime}\left(0\right)$
1.3 系统
时间系统基本单元
输入输出方程
-
二阶系统
$y^{\prime\prime}+a_1y^{\prime}+a_0y=b_1x^{\prime}+b_0x$
$q^{\prime\prime}+a_1q^{\prime}+a_0q=x$
$y=b_1q^{\prime}+b_0q$
-
$n$阶系统
$y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_1y^{\prime}+a_0y=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_1x^{\prime}+b_0x$
$q^{\left(n\right)}+a_{n-1}q^{n-1}+\cdots +a_1q^{\prime}+a_0q=x$
$y=b_{n-1}q^{n-1}+\cdots +b_1q^{\prime}+b_0q$
系统性质
-
及时系统/动态系统：在任何时刻的输入，只与当前时刻输入有关，则为即时系统
-
可逆系统/不可逆系统：系统对不同的输入产生的输出都不同，即系统的输入与输出成一一对应关系，则称为可逆系统
-
因果系统/非因果系统：$t<t_0, x\left(t\right)=0, y\left(t\right)=0$
-
稳定系统/不稳定系统：系统对任何有界输入产生的输出都是有界的，则称为稳定系统
-
时变系统/时不变系统：输入信号在时间上有一个平移，则相应的输出信号也仅在时间上有一个同样的平移，而波形上没有任何变化，则为时变系统
-
线性系统/非线性系统：既满足叠加性，同时又满足齐次性的系统，称为线性系统
-
叠加性
$x_1\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right),x_2\left(t\right)\rightarrow y_2\left(t\right)$
$x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)$
-
齐次性
$x\left(t\right)\rightarrow y\left(t\right)$
$k\cdot x\left(t\right)\rightarrow k\cdot y\left(t\right)$
-
-
增量线性系统：如果一个系统输出的增量与输入的增量之间成线性关系，则该系统为增量线性系统
2. 信号与系统的时域分析
2.1 连续LTI卷积
信号的时域分解
-
矩形脉冲信号
$\delta_{\Delta}\left(t\right)=\left{\begin{array}{lr} \frac{1}{\Delta}&0<t<\Delta\0&其它\end{array}\right.$
卷积
$f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infin}^{\infin}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau}$
$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{0}^{t}{x(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau}$
图解卷积
- 变换：改变图形中的横坐标，自变量由 $t$ 变为 $\tau$
- 反转：将其中一个信号反转
- 平移：反转后的信号随参变量 $t$ 平移，得到 $h(t-\tau)$。若 $t>0$ 则右向平移，若 $t<0$ 则左向平移
- 相乘：将 $x(\tau)$ 与 $h(t-\tau)$ 相乘
- 积分：$x(\tau)$ 与 $h(t-\tau)$ 乘积曲线下的面积即为 $t$ 时刻的卷积值 （注意积分区域）
卷积性质
-
交换律 $x(t)h(t)=h(t)x(t)$
结合律 $\left[x(t)h_1(t)\right]h_2(t)=x(t)\left[h_1(t)h_2(t)\right]$
- 串联系统的冲击响应，等于各子系统冲击响应之卷积
- 串联系统与子系统次序无关
分配律 $x(t)\left[h_1(t)+h_2(t)\right]=x(t)h_1(t)+x(t)*h_2(t)$
- 一个并联系统的冲激响应等于各个子系统冲激响应之和
-
卷积微分 $[x(t)h(t)]’=x’(t)h(t)=x(t)*h’(t)$
卷积积分 $\int_{-\infin}^{t}{[x(\lambda)h(\lambda)]\mathrm{d}\lambda}=\left[\int_{-\infin}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]h(t)=x(t)*\left[\int_{-\infin}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]$
- 推论 $y(t)=x(t)h(t)=x’(t)\left[\int_{-\infin}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]=\left[\int_{-\infin}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]*h’(t)$
-
冲激函数卷积 $x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)$
- 推论 $x(t-t_1)*h(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$
阶跃函数卷积 $x(t)*u(t)=\int_{-\infin}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau$
- 推论 $u(t)*u(t)=tu(t)$
2.2 连续LTI单位冲激响应
冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应
微分方程描述
-
二阶通式 $y’‘+a_1 y’+a_0y=b_1x’+b_0x$
$N$ 阶通式 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0y=b_mx^{(m)}+\cdots+b_1x’+b_0x$
求和形式 $\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}$
单位冲激响应求解
$y(t)=y_1(t)$（齐次方程通解）$+y_2(t)$（非齐次方程特解）
-
齐次方程 $\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=0$
$y_1(t)=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_k \mathrm{e}^{\lambda_kt}(t)}$
-
微分算子
$\frac{d^nx}{dt^n}=p^nx, \int_{-\infin}^{t}{x\mathrm{d}\tau}=\frac{1}{p}x$
$mp+np=(m+n)p$
$p^mp^n=p^{m+n}$（$m,n$同正负）
$p\frac{1}{p}\neq\frac{1}{p}p$
$px(t)\not\rightarrow x(t)=y(t)$
-
记 $N$ 阶通式为 $D(p)y(t)=N(p)x(t)$
$H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}$
$y(t)=H(p)x(t)$
-
$n>m$
$y(t)=H(p)x(t)\Rightarrow h(t)=H(p)\delta(t)$
$h(t)=H(p)\delta(t)=\left(\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t)$
特征方程的特征根为 $\lambda_k$
令 $h_i(t)=\frac{k_i}{p-\lambda_i}\delta(t)$
$h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{h_i(t)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}$
若 $\lambda_k$ 均为 $k$ 阶重根，$h_k(t)=\left(A_1+A_2t+\cdots+A_kt^{k-1}\right)\mathrm{e}^{\lambda_1t}u(t)$
-
$n=m$
$h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+b_m\delta(t)$
-
$n<m$
$h(t)=H(p)\delta(t)$
$=\left(A_0p^{m-n}+\cdots+A_{m-n+1}p+A_{m-n}+\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t)$
$h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+A_0\delta^{(m-n)}(t)+\cdots+A_{m-n}\delta(n)$
-
2.3 离散LTI卷积
卷积和
-
$y(n)=x(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}{x(k)h(n-k)}$
因果系统 $y(n)==\sum\limits_{k=0}^{n}{x(k)h(n-k)}$
图解法
- 反转：将 $h(k)$ 以纵轴为对称轴反转得到 $h(-k)$
- 平移：将 $h(-k)$ 随参变量平移得到 $h(n-k)$
- 相乘：将 $x(n)$ 与 $h(n-k)$ 各对应点相乘
- 求和：将相乘后的各点值相加
性质
-
交换律、结合律、分配律
-
长度有限性 $l_y=l_x+l_h-1$
-
$x(n-n_1)*\delta(n-n_2)=x(n-n_1-n_2)$
$x(n)*u(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{x(k)}$
$u(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{h(k)}=s(n)$
$h(n)=s(n)-s(n-1)$
2.4 离散LTI单位脉冲响应
差分方程描述
$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)}$
差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移序之差
单位脉冲响应求解
-
移位算子：$S\cdot y(k)=y(k+1)$
差分方程变为 $\left(S^N+\cdots+a_1S_1+a_0\right)y(n)=\left(b_MS_M+\cdots+b_1S_1+b_0\right)x(n)$
-
$y(n)=H(S)x(n)$
$H_i(S)=\frac{A_i}{S-v_i}$
-
$m<n$
$h(n)=\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}$
若 $v_r$ 为 $l$ 阶重根，$h_r(n)=\frac{A(n-1)!}{(l-1)!(n-1)!}v_r^{n-l}u(n-1)$
-
$m=n$
$H(S)=A_0+H_1(S)+\cdots+H_N(S)$
$h(n)=A_0\delta(n)+\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}$
-
$m>n$：非因果系统，不考虑
-
2.4 系统性质分析
-
及时系统：$h(n)=a\delta(n),h(t)=a\delta(t)$
-
恒等系统：$h(n)=\delta(n),h(t)=\delta(t)$
-
可逆系统：$h(n)h_I(n)=\delta(n),h(t)h_I(t)=\delta(t)$
-
因果系统：$n<0\Rightarrow h(n)=0,t<0\Rightarrow h(t)=0$
-
稳定性：对于任何有界的输入，其输出有界
$\sum\limits_{k=-\infin}^{+\infin}{\left h(k)\right }<\infin,\int_{-\infin}^{+\infin}{\left h(t)\right \mathrm{d}t}<\infin$
2.5 离散LTI系统方框图
$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}$
-
解法1
$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)}$
$y(n)=\frac{b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)$
令 $q(n)=\frac{1}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)$
则 $a_Nq(n)=x(n)-\cdots$
$y(n)=\left(b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0\right)q(n)$
-
解法2
$w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}$
$y(n)=\frac{1}{a_0}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N}{a_ky(n-k)}\right]$
2.6 连续LTI系统方框图
$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_k y^{(N-k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_k x^{(N-k)}(t)}$
$w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx^{(N-k)}}(t)$
$y(n)=\frac{1}{a_N}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N-1}{a_ky^{(N-k)}(t)}\right]$
3 连续时间信号与系统的频域分析
3.1 信号分解
复指数信号 $x(t)=e^{st}$
-
复频域分析 $s=\sigma+h\Omega$
频域分析 $\sigma=0,s=j\Omega$
-
欧拉公式 $e^{j\Omega_0t}=\cos{\Omega_0t}+j\sin{\Omega_0t}$
-
令 $x(t)=e^{st},y(t)=e^{st}\int_{-\infin}^{\infin}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st}$
$s^{st}$ 为特征函数，$H(s)$ 为特征值
$x(t)=\sum\limits_k{a_ke^{s_kt}}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(s_k)e^{s_kt}}$
3.2 周期信号傅立叶级数
$x(t)=x(x+T_0)$
周期信号 $e^{j\Omega_0t}$：基波周期 $T_0=\frac{2\pi}{\Omega_0}$，基波频率 $\Omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$
$x(t)=\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}}$
$\dot{A_k}$ 为傅立叶系数，$k=\pm N$ 称为 $N$ 次谐波分量
$\dot{A_k}=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)e^{-jk\Omega_0t}\mathrm{d}t}$
周期信号傅立叶级数的性质
-
共轭性 $\dot{A_k}=\dot{A_{-k}}^{*}$
$x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infin}{\mathrm{Re}\left{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}\right}}$
-
三角函数形式 $x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infin}{\dot{A_k}\cos{(k\Omega_0t+\theta_k)}}$
$=a_0+2\sum\limits_{k=1}^{\infin}{\left[a_k\cos{k\Omega_0t}-b_k\sin{k\Omega_0t}\right]}=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infin}{\left[a’_n\cos{n\Omega_0t}-b’_n\sin{n\Omega_0t}\right]}$
$A_0=a_0=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\mathrm{d}t}$
$a_k=\frac{1}{2}\left(\dot{A_k}+\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \cos{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}$
$b_k=\frac{1}{2j}\left(\dot{A_k}-\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \sin{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}$
$a’_1\cos{n\Omega_0t}-b’_1\sin{n\Omega_0t}$ 为基波分量，其余为谐波分量
-
$a_k$ 为偶信号 $x_e(t)$ 的傅立叶系数，$jb_k$ 为奇信号 $x_o(t)$ 的傅立叶系数
-
奇谐函数：周期为 $T$ 的函数，任意半个周期的波形可由将前半周期波形沿x轴反转得到$a_{2k}=b_{2k}=0$
偶谐函数：将奇谐函数的负半周沿 $x$ 轴反转为正半周，此时的函数为偶谐函数$a_{2k+1}=b_{2k+1}=0$
3.3 傅立叶变换
频谱
所有谐波分量的复振幅随频率的分布称为信号的频谱
-
振幅频谱：$A_k$
相位频谱：$\theta_k$
-
特点
- 离散性：它由不连续的线条组成；
- 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上；
- 收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零
-
$Sa(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
$x(t)=\frac{A\tau}{T}\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{Sa\left(\frac{n\Omega_0\tau}{2}\right)e^{jk\Omega_0t}}$
$X(\Omega)=A\tau Sa(\frac{\tau\Omega}{2})$
-
$X(\Omega)=T\cdot \dot{A_n} _{n\Omega_0=\Omega}$ - 时域非周期则频域连续，时域周期则频域离散
-
非周期信号傅立叶变换
傅立叶变换 $X(\Omega)=\int_{-\infin}^{+\infin}{x(t)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}$ （ $X(\Omega)$ 为频谱密度函数，简称频谱）
傅立叶反变换 $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}{X(\Omega)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega}$
-
傅立叶变换存在条件
-
$\int_{-\infin}^{\infin}{\left x(t)\right \mathrm{d}t}<\infin$ - 在任何有限区间内只有有限个极值点，且极值有限
- 在任何有限区间内只有有限个间断点，且不连续值有限
-
-
$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}{\left X(\Omega)\right e^{j(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}$ $x(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infin}{\left X(\Omega)\right \cos{(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}$ $\left X(\Omega)\right $ 为幅度频谱，$\phi(\Omega)$ 为相位频谱
常用傅立叶变换
-
单边指数信号：$x(t)=e^{-\alpha t}u(t),\alpha>0$，$X(\Omega)=\frac{1}{\alpha+j\Omega}$
-
单位冲激信号：$X(\Omega)=1$
-
单位阶跃信号：$X(\Omega)=\pi\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}$
-
复指数信号
周期信号傅立叶变换
$x(t)\leftrightarrow 2\pi \sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{\dot{A_n}\delta(\Omega-n\Omega_0)}$
3.4 傅立叶变换性质
-
线性特性：$x_1(t)\leftrightarrow X_1(\Omega),x_2(t)\leftrightarrow X_2(\Omega)$
$a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(\Omega)+b\cdot X_2(\Omega)$
-
共轭对称性：$X^*(\Omega)=X(-\Omega)$（$x$ 为实信号）
-
时移特性：$x(t-t_0)\leftrightarrow X(\Omega)e^{-j\Omega t_0}$
-
移频特性：$x(t)e^{j\Omega_0 t}\leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)$
-
尺度变换：$x(at)\leftrightarrow \frac{1}{ a }X\left(\frac{\Omega}{a}\right)$ - $x(-t)\leftrightarrow X(-\Omega)$
- $u(-t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)-\frac{1}{j\Omega}$
- $1=u(t)+u(-t)\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)$
- $\mathrm{sgn}(t)=u(t)-u(-t)\leftrightarrow \frac{2}{j\Omega}$
-
$e^{-a t }=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}$
-
对偶特性：$X(t)\leftrightarrow 2\pi X(-\Omega)$
- 若 $x(t)$ 为实偶函数，则 $X(\Omega)$ 为实偶函数，$X(t)\leftrightarrow 2\pi x(\Omega)$
- 若 $x(t)$ 为实奇函数，则 $X(\Omega)$ 为虚奇函数，$X(t)\leftrightarrow -2\pi x(\Omega)$
- $\delta(t)\leftrightarrow 1\Longrightarrow 1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)$
-
时域微分特性：$x’(t)\leftrightarrow j\Omega X(\Omega)$
-
时域积分特性：$\int_{-\infin}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(\Omega)}{j\Omega}+\pi\delta(\Omega)X(0)$
-
频域微积分特性：$-jtx(t)\leftrightarrow X’(\Omega)$
$-\frac{x(t)}{jt}+\pi x(0)\delta(t)\leftrightarrow \int_{-\infin}^{\Omega}{X(\Omega)\mathrm{d}\Omega}$
-
卷积特性
$x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(\Omega)\cdot X_2(\Omega)$
$x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(\Omega)* X_2(\Omega)$
3.5 连续时间系统频域分析
-
$H(\Omega)=\frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)}=\left H(\Omega\right e^{j\phi(\Omega)}$ -
分析方法
- 将时域激励信号分解为频域信号 $x(t)\rightarrow X(\Omega)$
- 确定系统频率响应函数 $H(\Omega)$
- 求取激励信号的频域响应 $Y(\Omega)=X(\Omega)\cdot H(\Omega)$
- 对频域响应函数求傅立叶反变换得到系统的时域响应函数 $Y(\Omega)\rightarrow y(t)$
-
系统函数的确定
$\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}$
$H(\Omega)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k (j\Omega)^k}}{\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k (j\Omega)^k}}$
理想低通滤波器
-
系统不失真条件
$y(t)=Kx(t-t_0)$
$H(\Omega)=Ke^{-j\Omega t_0}$
-
频率特征：$H(\Omega)=\begin{cases}Ke^{-j\Omega t_0}& \Omega <\omega_{c0}\0&其它\end{cases}$ -
单位冲激响应 $h(t)=\frac{K\omega_{c0}}{\pi}Sa\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]$
-
单位阶跃响应 $y(t)=\frac{K}{2}+\frac{K}{\pi}Si\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]$
$Si(x)=\int_0^x{\frac{\sin{y}}{y}\mathrm{d}y}$
调制与解调
连续信号的时域抽样
4 连续时间信号与系统的频域分析
4.1 信号分解
-
令 $x(n)=z^{n},y(n)=z^{n}\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{h(k)z^{-k}}=H(s)\cdot z^{n}$
$z^{n}$ 为特征函数，$H(z)$ 为特征值
$x(n)=\sum\limits_k{a_kz_{k}^n}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(z_k)z_k^{n}}$
4.2 离散时间周期信号傅立叶级数
$x(n)=x(n+N)$
周期信号 $e^{j\frac{2\pi}{N}n}$
成谐波关系的复指数信号集 $\phi_k(n)=\left{e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\right},\phi_k(n)=\phi_{k+N}(n),k=0,\pm1,\cdots$
$x(n)=\sum\limits_{k=
$\dot{A_k}=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=
4.3 傅立叶变换
非周期信号傅立叶变换
$\omega=\frac{2\pi}{N}k$
$X(e^{j\omega})=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)e^{-j\omega n}}$
$x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega}$
-
收敛条件：平方可和 $\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{ x(n) ^2}<\infin$
常用序列傅立叶变换
-
单边指数序列：$x(n)=a^nu(n), a <1$ $X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}= X(e^{j\omega}) e^{j\varphi(\omega)}$ -
幅度频谱 $ X(e^{j\omega}) $ 偶对称 - 相位频谱 $\varphi(\omega)$ 奇对称
- $X(e^{j\omega})$ 以 $2\pi$ 为周期
-
-
双边指数序列：$x(n)=a^{ n }, a <1$ $X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}+\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}=\frac{1-a^2}{1-2a\cos{\omega}+a^2}$
-
单位脉冲序列：$x(n)=\delta(n)$
$X(e^{j\omega})=1$
-
常数序列：$x(n)=1$
$X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\delta(\omega-2\pi k)}$
-
符号函数序列
$X(e^{j\omega})=\frac{-j\sin{\omega}}{1-\cos{\omega}}$
-
单位阶跃函数序列：$x(n)=u(n)$
$X(e^{j\omega})=\frac{1}{(1-e^{-j\omega})}+\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\delta(\omega-2\pi k)}$
周期信号傅立叶变换
$X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\dot{A_k}\delta\left(\omega-\frac{2\pi}{N}k\right)}$
4.4 傅立叶变换性质
-
周期性：$X(e^{j\omega})=X(e^{j(\omega+2\pi)})$
-
线性特性：$x_1(n)\leftrightarrow X_1(e^{j\omega}),x_2(n)\leftrightarrow X_2(e^{j\omega})$，$a\cdot x_1(n)+b\cdot x_2(n)\leftrightarrow a\cdot X_1(e^{j\omega})+b\cdot X_2(e^{j\omega})$
-
共轭对称性：$x^{}(n)\leftrightarrow X^{}(e^{j\omega})$，$X(e^{j\omega})\leftrightarrow X^{*}(e^{-j\omega})$
- 实偶函数变换为实偶函数，实奇函数变换为虚奇函数
-
时延特性：$x(n-n_0)\leftrightarrow X(e^{j\omega})e^{-j\omega n_0}$
-
频移特性：$x(n)e^{j\omega_0 n}\leftrightarrow X\left(e^{j(\omega-\omega_0)}\right)$
-
尺度变换：$x_{(k)}(n)\leftrightarrow X(e^{jk\omega})$，$x(-n)\leftrightarrow X(e^{-j\omega})$
-
时域差分与求和：$x(n)-x(n-1)\leftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})$
$\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(e^{j0})\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{\delta(\omega-2\pi k)}$
-
频域微分特性：$nx(n)\leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}X(e^{j\omega})}{\mathrm{d}\omega}$
-
时域卷积特性：$x(n)*h(n)\leftrightarrow X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$
-
频域卷积特性：$x(n)y(n)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\otimes Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\theta})Y\left(e^{j(\omega-\theta)}\right)\mathrm{d}\theta}$称为周期卷积
-
对偶特性：$X(e^{jt})\leftrightarrow x(-n)$
4.5 离散时间系统频域分析
$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}$
两边同时傅立叶变换 $\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ke^{-j\omega k}Y(e^{j\omega})}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}X(e^{j\omega})}$
$\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}}$
4.6 离散傅里叶变换
$X(k)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{kn}}$，$W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$
性质
-
圆周移位
$x_1(n)=x((n-n_0))_NR_N(n)$
$X_1(k)=W_N^{kn_0}X(k)$
5. 拉普拉斯变换
$x(t)=e^{st}$
$y(t)=e^{st}\int_{-\infin}^{\infin}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st}$
-
双边拉普拉斯变换
$X(s)=\int_{-\infin}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}=\int_{-\infin}^{\infin}{\left[x(t) e^{-\sigma t}\right]e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t},s=\sigma+j\omega$
$\mathscr{L}\left{x(t)\right}=\mathscr{F}\left{x(t)e^{-\sigma t}\right}$
-
双边拉普拉斯反变换
$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s}$
5.1 收敛域
将 $\sigma$ 允许的取值范围称为 $x(t)$ 拉普拉斯变换的收敛域
- 拉普拉斯变换收敛域的几何表示：零极点图
-
$X(s)=\frac{E(s)}{D(s)}$，零点为 $E(s)$ 的根 $o$ ，极点为 $D(s)$ 的根 $\times$
-
收敛域由平行于虚轴的带状区域构成；收敛域内不包含任何极点
右边信号，收敛域位于其最右边极点的右边；左边信号，收敛域位于其最左边极点的左边；双边信号，收敛域为一带状区域
如果信号为时限的，并且至少存在一个 $s$ 值，使其拉斯变换存在，则收敛域为整个 $s$ 平面
-
5.2 常用拉普拉斯变换
-
$t$ 的指数类函数 $e^{at}u(t)$：$\mathscr{L}\left[e^{at}u(t)\right]=\frac{1}{s-a}(\sigma>a)$
- $\mathscr{L}\left[\cos{(\Omega t)}u(t)\right]=\frac{s}{s^2+\Omega^2}(\sigma>0)$
-
$t$ 的幂函数类 $t^nu(t),n\in \mathbb{Z}^+$：$\mathscr{L}\left[t^nu(t)\right]=\frac{n}{s}\mathscr{L}\left[t^{n-1}u(t)\right]=\begin{cases}\mathscr{L}\left[t^{n}u(t)\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}\\mathscr{L}\left[tu(t)\right]=\frac{1}{s^2}\end{cases}(\sigma>0)$
-
单位冲激函数：$\mathscr{L}\left[\delta(t)\right]=1,$ 收敛域为整个平面
5.3 双边拉普拉斯变换性质
-
线性：$a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(s)+b\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}$
-
时域平移：$x(t-t_0)\leftrightarrow X(s)e^{-st_0},$ 收敛域不变
-
复频域平移：$x(t)e^{s_0t}\leftrightarrow X(s-s_0),$ 收敛域右移 $\mathrm{Re}\left{s_0\right}$
-
尺度变换：$x(at)\leftrightarrow\frac{1}{ a }X\left(\frac{s}{a}\right),R_1=aR$ - $x(-t)\leftrightarrow X(-s),R_1=-R$
-
卷积定理
-
时域卷积：$x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}$
-
复频域卷积：$x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}\left[X_1(s)*X_2(s) \right]$
-
-
时域微分：$x’(t)\leftrightarrow sX(s)$
$x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s),R\in \mathrm{ROC},$ 收敛域可能放大
-
时域积分：$\int_{-\infin}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(s)}{s},$ 收敛域为 $R\cap(\sigma>0)$ 或 $R$（ $R$ 在 $s=0$ 处有 $0$ 点）
-
复频域微分：$tx(t)\leftrightarrow -X’(s),$ 收敛域不变
-
复频域积分：$\frac{x(t)}{t}\leftrightarrow \int_{s}^{\infin}{X(s)\mathrm{d}s},$ 收敛域不变
-
初值定理：$x(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow\infin}{sX(s)}$
- 若极限不存在，则 $X(s)=a_0+a_1s+\cdots+a_ps^p+X_p(s)$，$x(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow\infin}{sX_p(s)}$
-
终值定理
设右边函数 $x(t)$ 及其导数存在并有拉普拉斯变换且的所有极点都位于 $S$ 平面的左半边（包括在原点处的单极点），则 $x(\infin)=\lim\limits_{t\rightarrow \infin}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow 0}{sX(s)}$
- 如果有极点落在 $S$ 平面右半边，则 $x(t)\rightarrow \infin$
- 如果有极点落在虚轴上，则 $x(t)\rightarrow$ 等幅振荡
- 如果原点处极点为重极点，则 $x(t)\rightarrow$ 随时间增长的函数
5.4 拉普拉斯反变换
$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s}$
$X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}$
-
$m>n$
$X(s)=$ 多项式 + 有理真分式
-
$m<n$ 且 $D(s)=0$ 无重根
$D(s)=(s-s_1)\cdots(s-s_n)$
$X(s)=\frac{K_1}{s-s_1}+\cdots+\frac{K_n}{s-s_n}$
$K_k=\left[(s-s_k)\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_k}$
$\frac{K_k}{s-s_k}\leftrightarrow\begin{cases}K_ke^{s_kt}u(t)\-K_ke^{s_kt}u(-t) \end{cases}$
- 极点位于收敛域左边或左边界：右边函数
- 极点位于收敛域右边或右边界：左边函数
- 极点位于收敛域两边或外边界：双边函数
-
$m<n$ 且 $D(s)=0$ 有重根
设 $D(s)=0$ 有 $p$ 重根，$D(s)=(s-s_1)^p(s-s_{p+1})\cdots(s-s_n)$
$X(s)=\frac{K_{1p}}{(s-s_{1})^{p}}+\frac{K_{1(p-1)}}{(s-s_{1})^{p-1}}+\cdots+\frac{K_{11}}{s-s_{1}}+\frac{K_{p+1}}{s-s_{p+1}}+\cdots+\frac{K_{n}}{s-s_{n}}$
$K_{1p}=\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}$
$K_{1k}=\frac{1}{(p-k)!}\frac{\mathrm{d}^{p-k}}{\mathrm{d}s^{p-k}}\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}$
$\mathscr{L^{-1}}\left[X(s)\right]=\left[\frac{K_{1p}}{(p-1)!}t^{p-1}+\frac{K_{1(p-1)}}{(p-2)!}t^{p-2}+\cdots+K_{12}t+K_{11} \right]e^{s_1t}u(t)+\sum\limits_{q=p+1}^{n}{K_ke^{s_qt}u(t)}$
5.5 连续时间系统复频域分析方法
- 将激励信号分解为 $e^{st}$ 形式的指数分量（求拉氏变换）$x(t)\rightarrow X(s)$
- 确定复频域的系统函数 $H(s)$
- 求取每一分量的响应 $Y(s)=X(s)\cdot H(s)$
- 对响应复频谱函数求拉氏反变换得到系统的响应函数 $Y(s)\rightarrow y(t)$
$\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^kY(s)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^kX(s)}$
$H(s)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^k}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^k}}=\frac{b_M}{a_N}\frac{\prod\limits_{k=1}^{M}{(s-z_k)}}{\prod\limits_{k=1}^{N}{(s-p_k)}}$，$z_k$ 为零点，$p_k$ 为极点
因果且稳定的 LTI 系统，系统函数的收敛域一定包含虚轴，且系统函数的全部极点一定位于 $S$ 平面的左半平面
5.6 单边拉普拉斯变换
$\mathscr{X}(s)=\int_{0}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}$
存在冲激函数及其导数时，$\mathscr{X}(s)=\int_{0^-}^{\infin}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}$
反变换 $x(t)u(t)=\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}{X(s)e^{st}\mathrm{d}t} \right]u(t)$
- 右边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相同 双边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换不同
性质
-
时域微分：$x’(t)\leftrightarrow s\mathscr{X}(s)-x(0^-)$
-
时域积分：$\int_{-\infin}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{1}{s}\mathscr{X}(s)+\frac{\int_{-\infin}^{0^-}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}}{s}$
6. $\mathscr{Z}$变换
$x(n)=z^n$
$y(n)=z^n\sum\limits_{k=-\infin}^{\infin}{h(k)z^{-k}}=z^nH(z)$
6.1 $\mathscr{Z}$变换
- 双边$\mathscr{Z}$变换 $\mathscr{Z}[x(n)]=X(z)=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)z^{-n}}$
- 单边$\mathscr{Z}$变换 $\mathscr{Z}[x(n)u(n)]=\mathscr{X}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infin}{x(n)z^{-n}}$
-
收敛域
-
有限长序列 $x(n)(n_1\leq n\leq n_2)$
-
$n_2>n_1\geq 0$ 或 $n_2\geq n_1>0\Rightarrow o< z \leq\infin$ -
$n_2>0,n_1<0\Rightarrow 0< z <\infin$ -
$0\geq n_2>n_1$ 或 $1>n_2\geq n_1\Rightarrow 0\leq z <\infin$
-
-
右边序列（因果序列）：$R_r< z \leq\infin$ -
左边序列（反因果序列）：$ z <R_l$ -
双边序列：若 $R_l>R_r$，$R_r< z <R_l$；若 $R_l>R_r$，没有收敛，没有$\mathscr{Z}$变换
-
- $\mathscr{Z}$变换和拉普拉斯变换关系：$z-e^{sT}$
- $\mathscr{Z}$变换和离散时间傅立叶变换：$z=re^{j\omega}$
6.2 常用$\mathscr{Z}$变换
-
单位冲激函数：$\delta(n)\leftrightarrow1(o\leq z \leq\infin)$，$\mathscr{Z}[\delta(n)]=1$ -
单位阶跃序列：$u(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}( z >1)右边序列$，$\mathscr{Z}[u(n)]=\frac{1}{1-z^{-1}}$ -
单边指数序列：$a^nu(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-a}( z > a )右边序列$，$\mathscr{Z}[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a}, az^{-1} <1, z >a$
6.3 双边$\mathscr{Z}$变换常用性质
-
时域平移：$x(n-n_0)\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)$，$R$ 在原点或无穷远处可能发生变化
-
线性特征：$a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\leftrightarrow a_1X_1(z)+a_2X_2(z),R_1\cap R_2\in R$
-
移频特性：$e^{j\omega_0 n}x(n)\leftrightarrow X(ze^{-j\omega_0}),$ 收敛域不变
-
$\mathscr{Z}$域尺度变换特性：$z_0^nx(n)\leftrightarrow X\left(\frac{z}{z_0}\right), z_0 R$，$z_0=r_0e^{j\omega_0}$ -
时域反转特性：$x(-n)\leftrightarrow X(z^{-1}),\frac{1}{R}$
-
卷积定理：$x_1(n)*x_2(n)\leftrightarrow X_1(z)\cdot X_2(z)$
-
$\mathscr{Z}$域微分特性：$nx(n)\leftrightarrow -zX’(z),R$ 不变
-
时域求和性质：$\sum\limits_{k=-\infin}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{z}{z-1}X(z),R\cap( z >1)$ -
初值定理：$x(0)=\lim\limits_{z\rightarrow\infin}{X(z)}$
-
终值定理：除了单位圆上允许有一阶极点之外，其余极点都在单位圆之内
$x(\infin)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}{[(z-1)X(z)]}$
6.4 $\mathscr{Z}$反变换
$x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}{X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z}$，$C$ 是在收敛域内包围z平面原点的闭合积分路线
幂级数展开法
$X(z)=\sum\limits_{n=-\infin}^{\infin}{x(n)z^{-n}},z=re^{j\omega}$
$X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\cdots+x(-1)z+x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\cdots+x(n)z^{-n}+\cdots$
展开方法(长除法)：对右边的序列按 $z$ 的降幂的顺序排列；对左边的序列按 $z$ 的升幂的顺序排列
部分式展开法
6.5 离散时间LTI的$\mathscr{Z}$域分析方法
$\sum\limits_{k=0}^{n}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx(n-k)}$，$H(z)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_kz^{-k}}}$
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