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正定矩阵

calendar_month 2020-12
archive 数学
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什么是正定矩阵和半正定矩阵?

得益于教材和老师,当时学习线性代数的时候就迷迷糊糊,只记得它俩的定义:

正定矩阵(PD):\(\forall \boldsymbol{x}\) 均有 \(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}>0\)

半正定矩阵(PSD):\(\forall \boldsymbol{x}\) 均有 \(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\geq0\)

常用判定条件为

若所有特征值均大于零,则正定

或者

\(\boldsymbol{A}\) 是正定的充要条件为 \(\boldsymbol{A}\) 的各阶顺序主子式均大于零。

这是个啥玩意儿?要这个有啥用?记住就完事儿了!

结果现在学习凸优化的时候又遇到了它:用 Hessian 矩阵半正定来证明凸函数。这东西不弄明白总感觉不舒服。

正定到底是什么?

观察其定义 \(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}>0\)。矩阵是左乘的,因此也可以更直观的写成 \(\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})>0\)。

我们知道,矩阵乘以行向量的意义是对其做了一个线性变换,因此 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 就是对 \(\boldsymbol{x}\) 施加了一个 \(\boldsymbol{A}\) 的变换——通俗来讲,就是转了一个角度。

而向量相乘的意义是一个向量在另一个向量上的投影。那么这个定义就变成了:对一个向量施加一个 \(\boldsymbol{A}\) 的变换,所得结果在原向量上的投影大于零。

或者更简单的说,就是 \(\boldsymbol{A}\) 把 \(\boldsymbol{x}\) 转了小于 90 度!

这样,半正定也很好理解了:\(\boldsymbol{A}\) 把 \(\boldsymbol{x}\) 转了不超过 90 度。

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