星座图解释与应用
什么是星座图？
直观理解星座图
我们知道，信号的调制可以分为两类：模拟调制和数字调制。其中，模拟调制包含 AM、FM、PM 等；数字调制包含 PSK、FSK、MSK、QAM 等。
不论哪种调制方式，改变的无非是信号的三个变量：幅度、频率、相位。AM 会改变幅度，而 FM 和 PM 会改变相位角（FM 度量的是相位变化率）。因此，我们可以使用幅度和相位角来描述一种调制方式。极坐标图就是查看幅度和相位角的一种方式。
对于坐标系中的一点，相位角即为该点与水平轴所成的角度，幅度为该点与原点的距离。
在实际处理时，我们会使用 I/Q 图。
I 值即为该点横坐标，Q 值即为该点纵坐标。发送信号时，分别产生 I 信号和 Q 信号，将 Q 信号旋转 90 度后（使得两信号正交），合成发送。解调时，同样是把合成的信号分解为 I 信号和 Q 信号。如图所示（仅供示意）。
由上述内容我们可以总结出，对于任意编码方式，每种码元都是星座图上的一个点。发送时，根据码元的内容发送相应的点（也就是这个点表示的信号）；接收时，根据收到的点得到码元。
为了在接收时更好的区分每个点的位置，我们需要使得任意两个点之间离得尽可能远。例如对于 BPSK，
而对于有 4 个点的 QPSK，则为
当然，由于干扰、噪声的存在，接收端收到的点并不总是在理想位置。下面三幅图是 6 bit 码元不同状态下的图，白色圆圈为理想位置，而红色点为接收到的位置。
因此，判断时会使用最大似然判决准则判断。换句话说，就是找距离最近的理想点。通常，我们使用划分决策边界的方法去寻找最近的理想点。例如，对于 2PSK，图中淡蓝色的区域即为 1 的决策区域。
再如上面提到的 QPSK，图中淡蓝色的区域即为 10 的决策区域。
然而，实际接收到的位置和理想位置不完全相同同，因此产生了角度误差和幅度误差。
数学理解星座图
设有 \(M\) 个定义在 \([0,T)\) 上的有限能量实信号 \(S=\left\{s_1(t),\cdots,s_M(t)\right\}\)。通过 Gram-Schmidt orthogonalization procedure，表示为 \(N\leq M\) 个 real orthonormal basis functions \(\left\{\phi_1(t),\cdots,\phi_N(t)\right\}\)。我们令这些 basis functions 组成的集合为 \(S\)。则有对于任意 \(s_i(t)\in S\)，其可以写成
\[s_i(t)=\sum\limits_{j=1}^{N}s_{ij}\phi_j(t),0\leq t<T\]其中，
\[s_{ij}=\int_{0}^{T}s_i(t)\phi_j(t)\mathrm{d}t\]是将 \(s_i(t)\) 投影到 \(\phi_j(t)\) 上得到的实系数。
令 \(s_i=(s_{i1},\cdots,s_{iN})\in\mathbb{R}^N\)，称其为 signal constellation point（信号星座点）。\(M\) 个信号星座点 \(\left\{s_1,\cdots,s_M\right\}\) 构成 signal constellation（信号星座图）。
显然，如果我们确定了所有的 \(\phi_j(t)\)，那么就可以将 \(s_i(t)\) 和 \(s_i\) 互相转换。\(s_i(t)\) 用 \(s_i\) 表示被称为 signal space presentation，包含信号星座图的向量空间被称为 signal space。
换句人话说，就是把原来的一组向量用另外一组向量去表示。
我们在前文的所有星座图均为 \(s_i\in\mathbb{R}^2\) 上的星座图——通常的星座图也几乎都是二维的，也就是将所有的信号都用另外的两个信号去表示，这样可以使得发送和接收更加容易。
IQ 调制解调原理
前文提到，信号的收发是通过 IQ 信号合成再拆解来进行的。具体是怎样的过程呢？
如图所示。在调制时，I 信号和 Q 信号合成为 \(I\cos{\omega_0t}-Q\sin{\omega_0t}\)。为了方便计算，I 信号和 Q 信号通常表示为复信号 \(I+jQ\)。于是，调制的过程相当于该信号乘以 \(e^{j\omega_0t}\) 得到的实部。即，
\[\Re{(I+jQ)e^{j\omega_0t}}=I\cos{\omega_0t}-Q\sin{\omega_0t}\]解调时，由于收到的信号是连续的，而我们需要的是离散的值，因此我们需要对一个周期内的信号积分求平均值。例如对于 I 信号。
\[I=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s(t)\cos{\omega_0t}\mathrm{d}t\]其中，\(T\) 为周期。Q 信号的接收同理。
下面，我们利用 IQ 调制解调原理来考察 QPSK。我们分别考虑下面四种四种码元所对应的 IQ 坐标，计算信号的相位：
| 码元 | I | Q | \(s(t)\) 相位 |
|---|---|---|---|
00 | +A | +A | \(\frac{\pi}{4}\) |
01 | -A | +A | \(\frac{3\pi}{4}\) |
11 | -A | -A | \(\frac{5\pi}{4}\) |
10 | +A | -A | \(\frac{7\pi}{4}\) |
观察这四个 IQ 坐标和相位，这正好是我们之前 QBSK 星座图的四个点的角度。
有一个问题是：为什么 11 对应 (-A,-A)、10 对应 (+A,-A)，而不是按照顺序的 10 对应 (-A,-A)、11 对应 (+A,-A) 呢？这其实是格雷码在起作用。我们知道，对于一个码元，如果其传输过程中发生错误，那么最可能被误判为相邻的两个决策区域。例如对于上图的 11，其更可能被误判为 01 或者 10。在上图的情况下，无论哪一个码元传输出现错误，都只会影响到 1 个 bit。
然而，如果 10 对应 (-A,-A)、11 对应 (+A,-A)，则如下图所示：
如果 11 错误的传为 00，或者 01 错误的传为了 10，则一下子要错 2 个 bit！
现在 QPSK 搞清楚了，那 BPSK 只有 2 个状态怎么办呢？很简单，只要 I 取 +A 和 -A，而 Q 置零就可以了。由此得到了 2 个点 (+A,0)、(-A,0)。
还有一个要解决的问题是，A 取值多少。我们前面说过，对于星座图，传输的其实是点的角度、到原点的距离。为了方便处理，我们通常会使距离设为整数。例如在 BPSK 中，A=1；在 QPSK 中，我们使四个点落在单位圆上，得到 \(A=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
同理，对于 8PSK，我们使得 8 个点均匀分布在单位圆上即可：
如果点更多了，比如 16QAM 呢？如下图所示。
我们依然使用格雷码减小错误传输带来的影响。同时，为了使每个点尽可能隔开，其坐标取 -3A、-A、+A、+3A。
如果你仔细思考过，16QAM 还可以在原点放一点、周围围两个环，这样也可以满足每个点尽量隔开的要求。然而，这样做会产生一个问题：量化困难——即，无法很好地表示理想点坐标，造成运算处理的问题。
最后，我们考虑 MASK 的星座图。MASK 载波频率和相位为一常数，我们默认相位为 0。则点将会分布在 I 轴上。如图所示。
Matlab 模拟星座图
对于 QAM，我们以 64QAM 为例：
A = randi([0, 63], 1, 1000); % 16 进制，100 个码元
stem(A);
B = qammod(A, 64); % 64QAM 调制
scatterplot(B);
我们生成一张带有高斯白噪音的 64QAM 星座图：
M = 64;
k = log2(M);
data = randi([0 1],1000*k,1);
txSig = qammod(data,M,'InputType','bit','UnitAveragePower',true);
rxSig = awgn(txSig,25);
cd = comm.ConstellationDiagram('ShowReferenceConstellation',false);
cd(rxSig)
也可以进行解调
M = 64;
bitsPerSym = log2(M);
data = randi([0 1],1000*bitsPerSym,1);
txSig = qammod(data,M,'bin','InputType','bit','OutputDataType',numerictype(1,16,10));
z = qamdemod(txSig,M,'bin','OutputType','bit');
s = isequal(data,double(z))
同理，对于 PSK，我们以 4PSK 为例：
A = randi([0, 3], 1, 100); % 4 进制, 100 个码元
stem(A);
B = pskmod(A, 4, pi / 4); % 8PSK 调制, 初始相位为 pi / 4
scatterplot(B);
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