本文为信号与线性系统笔记。

1. 信号与系统

1.2 信号

信号自变量变换

• 平移 \(x\left(t\right)\rightarrow x\left(t+t_0\right)/x\left(t-t_0\right)\)

• 反转 \(x\left(t\right)\rightarrow x\left(-t\right)\)

• 连续信号尺度 \(x\left(t\right)\rightarrow x\left(at\right)\)

• 离散信号尺度 \(x\left(n\right)\rightarrow x\left(Nn\right)/x\left(n/N\right)\)

信号的特性

• 奇信号和偶信号

  • \[x_o\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)-x\left(-t\right)\right]\] \[x_e\left(t\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(t\right)+x\left(-t\right)\right]\]

• 周期信号和非周期信号

  • 连续直流信号：基波周期无意义

  • 离散直流信号：基波周期为1

基本常用信号

• 连续时间正弦信号 \(x\left(t\right)=A\cos{\left({\Omega}_0t+\varphi\right)}\)

• 离散时间正弦序列 \(x\left(n\right)=A\cos{\left({\omega}_0n+\varphi\right)}\)

• 连续时间指数信号 \(x\left(t\right)=c\mathrm{e}^{at}\)

  • 单边指数信号 \(f\left(t\right)=\begin{cases}0&t<0\\e^{-\frac{t}{\tau}}&t>0\end{cases}\)

• 离散时间指数信号 \(x\left(n\right)=ca^n\)

• 单位阶跃信号

  \[u\left(t\right)=\left\{\begin{array}{**lr**} 1&t>0\\0&t<0\end{array}\right.\] \[u\left(n\right)=\left\{\begin{array}{**lr**} 1&n\geq0\\0&n<0\end{array}\right.\]

• 单位脉冲序列（离散）

  \[\delta\left(n\right)=\left\{\begin{array}{**lr**} 1&n=0\\0&n\neq0\end{array}\right.\]
  • \[x\left(n\right)\delta\left(n\right)=x\left(0\right)\delta\left(n\right)\] \[x\left(n\right)\delta\left(n-m\right)=x\left(m\right)\delta\left(n-m\right)\]
  • \[\delta\left(n\right)=u\left(n\right)-u\left(n-1\right)\] \[u\left(n\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\delta\left(n-k\right)}\]

• 单位冲击函数（连续）

  \[\left\{\begin{array}{**lr**} \int_{-\infty}^{+\infty}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=1 &\\\delta\left(t\right)=0&t\neq0\end{array}\right.\]
  • \[\delta\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}u\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\] \[\int_{-\infty}^{t}{\delta\left(t\right)\mathrm{d}t}=u\left(t\right)\]

冲激函数及其性质

• 定义：\(\int_{-\infty}^{t}{x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)\mathrm{d}t}=x\left(t_0\right)\)

• 抽样性质：\(x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)=x\left(t_0\right)\delta\left(t-t_0\right)\)

• 奇偶性：\(\delta\left(t\right)=\delta\left(-t\right)\)

• 尺度变换：\(\delta\left(at\right)=\frac{1}{\left\|a\right\|}\delta\left(t\right)\)

• 微分：\(\int_{-\infty}^{+\infty}{x\left(t\right)\delta^{\prime}\left(t\right)\mathrm{d}t}=-x^{\prime}\left(0\right)\)

1.3 系统

时间系统基本单元

输入输出方程

• 二阶系统

  \[y^{\prime\prime}+a_1y^{\prime}+a_0y=b_1x^{\prime}+b_0x\] \[q^{\prime\prime}+a_1q^{\prime}+a_0q=x\] \[y=b_1q^{\prime}+b_0q\]

• \(n\)阶系统

  \[y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_1y^{\prime}+a_0y=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_1x^{\prime}+b_0x\] \[q^{\left(n\right)}+a_{n-1}q^{n-1}+\cdots +a_1q^{\prime}+a_0q=x\] \[y=b_{n-1}q^{n-1}+\cdots +b_1q^{\prime}+b_0q\]

系统性质

• 及时系统/动态系统：在任何时刻的输入，只与当前时刻输入有关，则为即时系统

• 可逆系统/不可逆系统：系统对不同的输入产生的输出都不同，即系统的输入与输出成一一对应关系，则称为可逆系统

• 因果系统/非因果系统：\(t<t_0, x\left(t\right)=0, y\left(t\right)=0\)

• 稳定系统/不稳定系统：系统对任何有界输入产生的输出都是有界的，则称为稳定系统

• 时变系统/时不变系统：输入信号在时间上有一个平移，则相应的输出信号也仅在时间上有一个同样的平移，而波形上没有任何变化，则为时变系统

• 线性系统/非线性系统：既满足叠加性，同时又满足齐次性的系统，称为线性系统

  • 叠加性

    \[x_1\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right),x_2\left(t\right)\rightarrow y_2\left(t\right)\] \[x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)\rightarrow y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)\]

  • 齐次性

    \[x\left(t\right)\rightarrow y\left(t\right)\] \[k\cdot x\left(t\right)\rightarrow k\cdot y\left(t\right)\]

• 增量线性系统：如果一个系统输出的增量与输入的增量之间成线性关系，则该系统为增量线性系统

2. 信号与系统的时域分析

2.1 连续LTI卷积

信号的时域分解

• 矩形脉冲信号

  \[\delta_{\Delta}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{**lr**} \frac{1}{\Delta}&0<t<\Delta\\0&其它\end{array}\right.\]

卷积

图解卷积

• 变换：改变图形中的横坐标，自变量由 \(t\) 变为 \(\tau\)

• 反转：将其中一个信号反转

• 平移：反转后的信号随参变量 \(t\) 平移，得到 \(h(t-\tau)\)。若 \(t>0\) 则右向平移，若 \(t<0\) 则左向平移

• 相乘：将 \(x(\tau)\) 与 \(h(t-\tau)\) 相乘

• 积分：\(x(\tau)\) 与 \(h(t-\tau)\) 乘积曲线下的面积即为 \(t\) 时刻的卷积值 （注意积分区域）

卷积性质

• 交换律 \(x(t)*h(t)=h(t)*x(t)\)

  结合律 \(\left[x(t)*h_1(t)\right]*h_2(t)=x(t)*\left[h_1(t)*h_2(t)\right]\)

  • 串联系统的冲击响应，等于各子系统冲击响应之卷积

  • 串联系统与子系统次序无关

  分配律 \(x(t)*\left[h_1(t)+h_2(t)\right]=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t)\)

  • 一个并联系统的冲激响应等于各个子系统冲激响应之和

• 卷积微分 \([x(t)*h(t)]^\prime =x^\prime (t)*h(t)=x(t)*h^\prime (t)\)

  卷积积分 \(\int_{-\infty}^{t}{[x(\lambda)*h(\lambda)]\mathrm{d}\lambda}=\left[\int_{-\infty}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]*h(t)=x(t)*\left[\int_{-\infty}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]\)

  • 推论 \(y(t)=x(t)*h(t)=x^\prime (t)*\left[\int_{-\infty}^{t}{h(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]=\left[\int_{-\infty}^{t}{x(\lambda)\mathrm{d}\lambda}\right]*h^\prime (t)\)

• 冲激函数卷积 \(x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)\)

  • 推论 \(x(t-t_1)*h(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)\)

  阶跃函数卷积 \(x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\mathrm{d}\tau\)

  • 推论 \(u(t)*u(t)=tu(t)\)

2.2 连续LTI单位冲激响应

冲激响应：系统对单位冲激信号的零状态响应

微分方程描述

• 二阶通式 \(y^{\prime\prime} +a_1 y^\prime +a_0y=b_1x^\prime +b_0x\)

  \(N\) 阶通式 \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y^\prime +a_0y=b_mx^{(m)}+\cdots+b_1x^\prime +b_0x\)

  求和形式 \(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}\)

单位冲激响应求解

\(y(t)=y_1(t)\)（齐次方程通解）\(+y_2(t)\)（非齐次方程特解）

• 齐次方程 \(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=0\)

  \[y_1(t)=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_k \mathrm{e}^{\lambda_kt}(t)}\]

• 微分算子

  \[\frac{d^nx}{dt^n}=p^nx, \int_{-\infty}^{t}{x\mathrm{d}\tau}=\frac{1}{p}x\] \[mp+np=(m+n)p\]

  \(p^mp^n=p^{m+n}\)（\(m,n\)同正负）

  \[p\frac{1}{p}\neq\frac{1}{p}p\] \[px(t)\not\rightarrow x(t)=y(t)\]

• 记 \(N\) 阶通式为 \(D(p)y(t)=N(p)x(t)\)

  \[H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}\] \[y(t)=H(p)x(t)\]
  • \[n>m\] \[y(t)=H(p)x(t)\Rightarrow h(t)=H(p)\delta(t)\] \[h(t)=H(p)\delta(t)=\left(\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t)\]

    特征方程的特征根为 \(\lambda_k\)

    令 \(h_i(t)=\frac{k_i}{p-\lambda_i}\delta(t)\)

    \[h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{h_i(t)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}\]

    若 \(\lambda_k\) 均为 \(k\) 阶重根，\(h_k(t)=\left(A_1+A_2t+\cdots+A_kt^{k-1}\right)\mathrm{e}^{\lambda_1t}u(t)\)

  • \[n=m\] \[h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+b_m\delta(t)\]
  • \[n<m\] \[\begin{aligned} h(t)=&H(p)\delta(t) \\ =&\left(A_0p^{m-n}+\cdots+A_{m-n+1}p+A_{m-n}\right. \\ &+\left.\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\frac{k_2}{p-\lambda_2}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n}\right)\delta(t) \end{aligned}\] \[h(t)=\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i\mathrm{e}^{\lambda_it}u(t)}+A_0\delta^{(m-n)}(t)+\cdots+A_{m-n}\delta(n)\]

2.3 离散LTI卷积

卷积和

• \[y(n)=x(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{x(k)h(n-k)}\]

  因果系统 \(y(n)==\sum\limits_{k=0}^{n}{x(k)h(n-k)}\)

图解法

• 反转：将 \(h(k)\) 以纵轴为对称轴反转得到 \(h(-k)\)

• 平移：将 \(h(-k)\) 随参变量平移得到 \(h(n-k)\)

• 相乘：将 \(x(n)\) 与 \(h(n-k)\) 各对应点相乘

• 求和：将相乘后的各点值相加

性质

• 交换律、结合律、分配律

• 长度有限性 \(l_y=l_x+l_h-1\)

• \[x(n-n_1)*\delta(n-n_2)=x(n-n_1-n_2)\] \[x(n)*u(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}\] \[u(n)*h(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{h(k)}=s(n)\] \[h(n)=s(n)-s(n-1)\]

2.4 离散LTI单位脉冲响应

差分方程描述

差分方程阶数：差分方程的阶定义为响应最大移序与最小移序之差

单位脉冲响应求解

• 移位算子：\(S\cdot y(k)=y(k+1)\)

  差分方程变为 \(\left(S^N+\cdots+a_1S_1+a_0\right)y(n)=\left(b_MS_M+\cdots+b_1S_1+b_0\right)x(n)\)

• \[y(n)=H(S)x(n)\] \[H_i(S)=\frac{A_i}{S-v_i}\]
  • \[m<n\] \[h(n)=\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}\]

    若 \(v_r\) 为 \(l\) 阶重根，\(h_r(n)=\frac{A(n-1)!}{(l-1)!(n-1)!}v_r^{n-l}u(n-1)\)

  • \[m=n\] \[H(S)=A_0+H_1(S)+\cdots+H_N(S)\] \[h(n)=A_0\delta(n)+\sum\limits_{r=1}^{N}{A_rv^{n-1}u(n-1)}\]
  • \(m>n\)：非因果系统，不考虑

2.4 系统性质分析

• 及时系统：\(h(n)=a\delta(n),h(t)=a\delta(t)\)

• 恒等系统：\(h(n)=\delta(n),h(t)=\delta(t)\)

• 可逆系统：\(h(n)*h_I(n)=\delta(n),h(t)*h_I(t)=\delta(t)\)

• 因果系统：\(n<0\Rightarrow h(n)=0,t<0\Rightarrow h(t)=0\)

• 稳定性：对于任何有界的输入，其输出有界

  \[\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\left|h(k)\right|}<\infty,\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|h(t)\right|\mathrm{d}t}<\infty\]

2.5 离散LTI系统方框图

• 解法1

  \[\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ky(n+k)}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n+k)}\] \[y(n)=\frac{b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)\]

  令 \(q(n)=\frac{1}{a_NS^N+\cdots+a_1S+a_0}x(n)\)

  则 \(a_Nq(n)=x(n)-\cdots\)

  \[y(n)=\left(b_MS^M+\cdots+b_1S+b_0\right)q(n)\]

• 解法2

  \[w(n)=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kx(n-k)}\] \[y(n)=\frac{1}{a_0}\left[w(n)-\sum\limits_{k=1}^{N}{a_ky(n-k)}\right]\]

2.6 连续LTI系统方框图

3 连续时间信号与系统的频域分析

3.1 信号分解

复指数信号 \(x(t)=e^{st}\)

• 复频域分析 \(s=\sigma+h\Omega\)

  频域分析 \(\sigma=0,s=j\Omega\)

• 欧拉公式 \(e^{j\Omega_0t}=\cos{\Omega_0t}+j\sin{\Omega_0t}\)

• 令 \(x(t)=e^{st},y(t)=e^{st}\int_{-\infty}^{\infty}{h(\tau)e^{-st}\mathrm{d}\tau}=H(s)e^{st}\)

  \(s^{st}\) 为特征函数，\(H(s)\) 为特征值

  \[x(t)=\sum\limits_k{a_ke^{s_kt}}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(s_k)e^{s_kt}}\]

3.2 周期信号傅立叶级数

周期信号 \(e^{j\Omega_0t}\)：基波周期 \(T_0=\frac{2\pi}{\Omega_0}\)，基波频率 \(\Omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\)

\(\dot{A_k}\) 为傅立叶系数，\(k=\pm N\) 称为 \(N\) 次谐波分量

周期信号傅立叶级数的性质

• 共轭性 \(\dot{A_k}=\dot{A_{-k}}^{*}\)

  \[x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\mathrm{Re}\left\{\dot{A_k}e^{jk\Omega_0t}\right\}}\]

• 三角函数形式 \(x(t)=\dot{A_0}+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dot{A_k}\cos{(k\Omega_0t+\theta_k)}}\)

  \[\begin{aligned} =&a_0+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left[a_k\cos{k\Omega_0t}-b_k\sin{k\Omega_0t}\right]} \\ =&a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left[a^\prime _n\cos{n\Omega_0t}-b^\prime _n\sin{n\Omega_0t}\right]} \end{aligned}\] \[A_0=a_0=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\mathrm{d}t}\] \[a_k=\frac{1}{2}\left(\dot{A_k}+\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \cos{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}\] \[b_k=\frac{1}{2j}\left(\dot{A_k}-\dot{A_{-k}}\right)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}{x(t)\cdot \sin{k\Omega_0t}\mathrm{d}t}\]

  \(a^\prime _1\cos{n\Omega_0t}-b^\prime _1\sin{n\Omega_0t}\) 为基波分量，其余为谐波分量

• \(a_k\) 为偶信号 \(x_e(t)\) 的傅立叶系数，\(jb_k\) 为奇信号 \(x_o(t)\) 的傅立叶系数

• 奇谐函数：周期为 \(T\) 的函数，任意半个周期的波形可由将前半周期波形沿x轴反转得到\(a_{2k}=b_{2k}=0\)

  偶谐函数：将奇谐函数的负半周沿 \(x\) 轴反转为正半周，此时的函数为偶谐函数\(a_{2k+1}=b_{2k+1}=0\)

3.3 傅立叶变换

频谱

所有谐波分量的复振幅随频率的分布称为信号的频谱

• 振幅频谱：\(A_k\)

  相位频谱：\(\theta_k\)

• 特点

  • 离散性：它由不连续的线条组成

  • 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上

  • 收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零

• \[Sa(x)=\frac{\sin{x}}{x}\] \[x(t)=\frac{A\tau}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{Sa\left(\frac{n\Omega_0\tau}{2}\right)e^{jk\Omega_0t}}\] \[X(\Omega)=A\tau Sa(\frac{\tau\Omega}{2})\]
  • \[X(\Omega)=T\cdot \dot{A_n}|_{n\Omega_0=\Omega}\]
  • 时域非周期则频域连续，时域周期则频域离散

非周期信号傅立叶变换

傅立叶变换 \(X(\Omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x(t)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}\)（\(X(\Omega)\) 为频谱密度函数，简称频谱）

傅立叶反变换 \(x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X(\Omega)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega}\)

• 傅立叶变换存在条件

  • \[\int_{-\infty}^{\infty}{\left\|x(t)\right\|\mathrm{d}t}<\infty\]

  • 在任何有限区间内只有有限个极值点，且极值有限

  • 在任何有限区间内只有有限个间断点，且不连续值有限
• \[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left\|X(\Omega)\right\|e^{j(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}\] \[x(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}{\left\|X(\Omega)\right\|\cos{(\Omega t+\phi)}\mathrm{d}\Omega}\]

  \(\left\|X(\Omega)\right\|\) 为幅度频谱，\(\phi(\Omega)\) 为相位频谱

常用傅立叶变换

• 单边指数信号：\(x(t)=e^{-\alpha t}u(t),\alpha>0\)，\(X(\Omega)=\frac{1}{\alpha+j\Omega}\)

• 单位冲激信号：\(X(\Omega)=1\)

• 单位阶跃信号：\(X(\Omega)=\pi\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}\)

• 复指数信号

周期信号傅立叶变换

3.4 傅立叶变换性质

• 线性特性：\(x_1(t)\leftrightarrow X_1(\Omega),x_2(t)\leftrightarrow X_2(\Omega)\)

  \[a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(\Omega)+b\cdot X_2(\Omega)\]

• 共轭对称性：\(X^*(\Omega)=X(-\Omega)\)（\(x\) 为实信号）

• 时移特性：\(x(t-t_0)\leftrightarrow X(\Omega)e^{-j\Omega t_0}\)

• 移频特性：\(x(t)e^{j\Omega_0 t}\leftrightarrow X(\Omega-\Omega_0)\)

• 尺度变换：\(x(at)\leftrightarrow \frac{1}{\|a\|}X\left(\frac{\Omega}{a}\right)\)

  • \[x(-t)\leftrightarrow X(-\Omega)\]
  • \[u(-t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)-\frac{1}{j\Omega}\]
  • \[1=u(t)+u(-t)\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)\]
  • \[\mathrm{sgn}(t)=u(t)-u(-t)\leftrightarrow \frac{2}{j\Omega}\]
  • \[e^{-a\|t\|}=e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}\]

• 对偶特性：\(X(t)\leftrightarrow 2\pi X(-\Omega)\)

  • 若 \(x(t)\) 为实偶函数，则 \(X(\Omega)\) 为实偶函数，\(X(t)\leftrightarrow 2\pi x(\Omega)\)

  • 若 \(x(t)\) 为实奇函数，则 \(X(\Omega)\) 为虚奇函数，\(X(t)\leftrightarrow -2\pi x(\Omega)\)

  • \[\delta(t)\leftrightarrow 1\Longrightarrow 1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)\]

• 时域微分特性：\(x^\prime (t)\leftrightarrow j\Omega X(\Omega)\)

• 时域积分特性：\(\int_{-\infty}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(\Omega)}{j\Omega}+\pi\delta(\Omega)X(0)\)

• 频域微积分特性：\(-jtx(t)\leftrightarrow X^\prime (\Omega)\)

  \[-\frac{x(t)}{jt}+\pi x(0)\delta(t)\leftrightarrow \int_{-\infty}^{\Omega}{X(\Omega)\mathrm{d}\Omega}\]

• 卷积特性

  \[x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(\Omega)\cdot X_2(\Omega)\] \[x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(\Omega)* X_2(\Omega)\]

3.5 连续时间系统频域分析

• \[H(\Omega)=\frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)}=\left|H(\Omega\right|e^{j\phi(\Omega)}\]

• 分析方法

  • 将时域激励信号分解为频域信号 \(x(t)\rightarrow X(\Omega)\)

  • 确定系统频率响应函数 \(H(\Omega)\)

  • 求取激励信号的频域响应 \(Y(\Omega)=X(\Omega)\cdot H(\Omega)\)

  • 对频域响应函数求傅立叶反变换得到系统的时域响应函数 \(Y(\Omega)\rightarrow y(t)\)

• 系统函数的确定

  \[\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k y^{(k)}(t)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k x^{(k)}(t)}\] \[H(\Omega)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{m}{b_k (j\Omega)^k}}{\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k (j\Omega)^k}}\]

理想低通滤波器

• 系统不失真条件

  \[y(t)=Kx(t-t_0)\] \[H(\Omega)=Ke^{-j\Omega t_0}\]

• 频率特征：\(H(\Omega)=\begin{cases}Ke^{-j\Omega t_0}&\|\Omega\|<\omega_{c0}\\0&其它\end{cases}\)

• 单位冲激响应 \(h(t)=\frac{K\omega_{c0}}{\pi}Sa\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]\)

• 单位阶跃响应 \(y(t)=\frac{K}{2}+\frac{K}{\pi}Si\left[\omega_{c0}(t-t_0)\right]\)

  \[Si(x)=\int_0^x{\frac{\sin{y}}{y}\mathrm{d}y}\]

调制与解调

连续信号的时域抽样

4 连续时间信号与系统的频域分析

4.1 信号分解

• 令 \(x(n)=z^{n},y(n)=z^{n}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{h(k)z^{-k}}=H(s)\cdot z^{n}\)

  \(z^{n}\) 为特征函数，\(H(z)\) 为特征值

  \[x(n)=\sum\limits_k{a_kz_{k}^n}\rightarrow y(t)=\sum\limits_k{a_kH(z_k)z_k^{n}}\]

4.2 离散时间周期信号傅立叶级数

周期信号 \(e^{j\frac{2\pi}{N}n}\)

成谐波关系的复指数信号集 \(\phi_k(n)=\left\{e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\right\},\phi_k(n)=\phi_{k+N}(n),k=0,\pm1,\cdots\)

4.3 傅立叶变换

非周期信号傅立叶变换

• 收敛条件：平方可和 \(\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{\|x(n)\|^2}<\infty\)

常用序列傅立叶变换

• 单边指数序列：\(x(n)=a^nu(n),\|a\|<1\)

  \[X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}=\|X(e^{j\omega})\|e^{j\varphi(\omega)}\]

  • 幅度频谱 \(\|X(e^{j\omega})\|\) 偶对称

  • 相位频谱 \(\varphi(\omega)\) 奇对称

  • \(X(e^{j\omega})\) 以 \(2\pi\) 为周期

• 双边指数序列：\(x(n)=a^{\|n\|},\|a\|<1\)

  \[X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}+\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}=\frac{1-a^2}{1-2a\cos{\omega}+a^2}\]

• 单位脉冲序列：\(x(n)=\delta(n)\)

  \[X(e^{j\omega})=1\]

• 常数序列：\(x(n)=1\)

  \[X(e^{j\omega})=2\pi\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega-2\pi k)}\]

• 符号函数序列

  \[X(e^{j\omega})=\frac{-j\sin{\omega}}{1-\cos{\omega}}\]

• 单位阶跃函数序列：\(x(n)=u(n)\)

  \[X(e^{j\omega})=\frac{1}{(1-e^{-j\omega})}+\pi\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega-2\pi k)}\]

周期信号傅立叶变换

4.4 傅立叶变换性质

• 周期性：\(X(e^{j\omega})=X(e^{j(\omega+2\pi)})\)

• 线性特性：\(x_1(n)\leftrightarrow X_1(e^{j\omega}),x_2(n)\leftrightarrow X_2(e^{j\omega})\)，\(a\cdot x_1(n)+b\cdot x_2(n)\leftrightarrow a\cdot X_1(e^{j\omega})+b\cdot X_2(e^{j\omega})\)

• 共轭对称性：\(x^{*}(n)\leftrightarrow X^{*}(e^{j\omega})\)，\(X(e^{j\omega})\leftrightarrow X^{*}(e^{-j\omega})\)

  • 实偶函数变换为实偶函数，实奇函数变换为虚奇函数

• 时延特性：\(x(n-n_0)\leftrightarrow X(e^{j\omega})e^{-j\omega n_0}\)

• 频移特性：\(x(n)e^{j\omega_0 n}\leftrightarrow X\left(e^{j(\omega-\omega_0)}\right)\)

• 尺度变换：\(x_{(k)}(n)\leftrightarrow X(e^{jk\omega})\)，\(x(-n)\leftrightarrow X(e^{-j\omega})\)

• 时域差分与求和：\(x(n)-x(n-1)\leftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})\)

  \[\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(e^{j0})\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}{\delta(\omega-2\pi k)}\]

• 频域微分特性：\(nx(n)\leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}X(e^{j\omega})}{\mathrm{d}\omega}\)

• 时域卷积特性：\(x(n)*h(n)\leftrightarrow X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\)

• 频域卷积特性：\(\begin{aligned}x(n)y(n)\leftrightarrow& \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\otimes Y(e^{j\omega})\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}{X(e^{j\theta})Y\left(e^{j(\omega-\theta)}\right)\mathrm{d}\theta}\end{aligned}\) 称为周期卷积

• 对偶特性：\(X(e^{jt})\leftrightarrow x(-n)\)

4.5 离散时间系统频域分析

两边同时傅立叶变换 \(\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ke^{-j\omega k}Y(e^{j\omega})}=\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ke^{-j\omega k}X(e^{j\omega})}\)

4.6 离散傅里叶变换

\(X(k)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{kn}}\)，\(W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)

性质

• 圆周移位

  \[x_1(n)=x((n-n_0))_NR_N(n)\] \[X_1(k)=W_N^{kn_0}X(k)\]

5. 拉普拉斯变换

• 双边拉普拉斯变换

  \[X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}=\int_{-\infty}^{\infty}{\left[x(t) e^{-\sigma t}\right]e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t},s=\sigma+j\omega\] \[\mathscr{L}\left\{x(t)\right\}=\mathscr{F}\left\{x(t)e^{-\sigma t}\right\}\]

• 双边拉普拉斯反变换

  \[x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}{X(s)e^{st}\mathrm{d}s}\]

5.1 收敛域

将 \(\sigma\) 允许的取值范围称为 \(x(t)\) 拉普拉斯变换的收敛域

• 拉普拉斯变换收敛域的几何表示：零极点图

  • \(X(s)=\frac{E(s)}{D(s)}\)，零点为 \(E(s)\) 的根 \(o\) ，极点为 \(D(s)\) 的根 \(\times\)

  • 收敛域由平行于虚轴的带状区域构成；收敛域内不包含任何极点

    右边信号，收敛域位于其最右边极点的右边；左边信号，收敛域位于其最左边极点的左边；双边信号，收敛域为一带状区域

    如果信号为时限的，并且至少存在一个 \(s\) 值，使其拉斯变换存在，则收敛域为整个 \(s\) 平面

5.2 常用拉普拉斯变换

• \(t\) 的指数类函数 \(e^{at}u(t)\)：\(\mathscr{L}\left[e^{at}u(t)\right]=\frac{1}{s-a}(\sigma>a)\)

  • \[\mathscr{L}\left[\cos{(\Omega t)}u(t)\right]=\frac{s}{s^2+\Omega^2}(\sigma>0)\]

• \(t\) 的幂函数类 \(t^nu(t),n\in \mathbb{Z}^+\)：\(\mathscr{L}\left[t^nu(t)\right]=\frac{n}{s}\mathscr{L}\left[t^{n-1}u(t)\right]=\begin{cases}\mathscr{L}\left[t^{n}u(t)\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}\\\mathscr{L}\left[tu(t)\right]=\frac{1}{s^2}\end{cases}(\sigma>0)\)

• 单位冲激函数：\(\mathscr{L}\left[\delta(t)\right]=1,\) 收敛域为整个平面

5.3 双边拉普拉斯变换性质

• 线性：\(a\cdot x_1(t)+b\cdot x_2(t)\leftrightarrow a\cdot X_1(s)+b\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}\)

• 时域平移：\(x(t-t_0)\leftrightarrow X(s)e^{-st_0},\) 收敛域不变

• 复频域平移：\(x(t)e^{s_0t}\leftrightarrow X(s-s_0),\) 收敛域右移 \(\mathrm{Re}\left\{s_0\right\}\)

• 尺度变换：\(x(at)\leftrightarrow\frac{1}{\|a\|}X\left(\frac{s}{a}\right),R_1=aR\)

  • \[x(-t)\leftrightarrow X(-s),R_1=-R\]

• 卷积定理

  • 时域卷积：\(x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)\cdot X_2(s),R_1\cap R_2\in \mathrm{ROC}\)

  • 复频域卷积：\(x_1(t)\cdot x_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}\left[X_1(s)*X_2(s) \right]\)

• 时域微分：\(x^\prime (t)\leftrightarrow sX(s)\)

  \(x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s),R\in \mathrm{ROC},\) 收敛域可能放大

• 时域积分：\(\int_{-\infty}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{X(s)}{s},\) 收敛域为 \(R\cap(\sigma>0)\) 或 \(R\)（ \(R\) 在 \(s=0\) 处有 \(0\) 点）

• 复频域微分：\(tx(t)\leftrightarrow -X^\prime (s),\) 收敛域不变

• 复频域积分：\(\frac{x(t)}{t}\leftrightarrow \int_{s}^{\infty}{X(s)\mathrm{d}s},\) 收敛域不变

• 初值定理：\(x(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}{sX(s)}\)

  • 若极限不存在，则 \(X(s)=a_0+a_1s+\cdots+a_ps^p+X_p(s)\)，\(x(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow\infty}{sX_p(s)}\)

• 终值定理

  设右边函数 \(x(t)\) 及其导数存在并有拉普拉斯变换且的所有极点都位于 \(S\) 平面的左半边（包括在原点处的单极点），则 \(x(\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}{x(t)}=\lim\limits_{s\rightarrow 0}{sX(s)}\)

  • 如果有极点落在 \(S\) 平面右半边，则 \(x(t)\rightarrow \infty\)

  • 如果有极点落在虚轴上，则 \(x(t)\rightarrow\) 等幅振荡

  • 如果原点处极点为重极点，则 \(x(t)\rightarrow\) 随时间增长的函数

5.4 拉普拉斯反变换

• \[m>n\]

  \(X(s)=\) 多项式 + 有理真分式

• \(m<n\) 且 \(D(s)=0\) 无重根

  \[D(s)=(s-s_1)\cdots(s-s_n)\] \[X(s)=\frac{K_1}{s-s_1}+\cdots+\frac{K_n}{s-s_n}\] \[K_k=\left[(s-s_k)\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_k}\] \[\frac{K_k}{s-s_k}\leftrightarrow\begin{cases}K_ke^{s_kt}u(t)\\-K_ke^{s_kt}u(-t) \end{cases}\]

  • 极点位于收敛域左边或左边界：右边函数

  • 极点位于收敛域右边或右边界：左边函数

  • 极点位于收敛域两边或外边界：双边函数

• \(m<n\) 且 \(D(s)=0\) 有重根

  设 \(D(s)=0\) 有 \(p\) 重根，\(D(s)=(s-s_1)^p(s-s_{p+1})\cdots(s-s_n)\)

  \[\begin{aligned} X(s)=&\frac{K_{1p}}{(s-s_{1})^{p}}+\frac{K_{1(p-1)}}{(s-s_{1})^{p-1}}+\cdots+\frac{K_{11}}{s-s_{1}}\\ &+\frac{K_{p+1}}{s-s_{p+1}}+\cdots+\frac{K_{n}}{s-s_{n}} \end{aligned}\] \[K_{1p}=\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}\] \[K_{1k}=\frac{1}{(p-k)!}\frac{\mathrm{d}^{p-k}}{\mathrm{d}s^{p-k}}\left[(s-s_1)^p\frac{N(s)}{D(s)}\right]_{s=s_1}\] \[\begin{aligned} \mathscr{L^{-1}}\left[X(s)\right]=&\left[\frac{K_{1p}}{(p-1)!}t^{p-1}+\frac{K_{1(p-1)}}{(p-2)!}t^{p-2}+\cdots+K_{12}t+K_{11} \right]e^{s_1t}u(t)\\ &+\sum\limits_{q=p+1}^{n}{K_ke^{s_qt}u(t)} \end{aligned}\]

5.5 连续时间系统复频域分析方法

• 将激励信号分解为 \(e^{st}\) 形式的指数分量（求拉氏变换）\(x(t)\rightarrow X(s)\)

• 确定复频域的系统函数 \(H(s)\)

• 求取每一分量的响应 \(Y(s)=X(s)\cdot H(s)\)

• 对响应复频谱函数求拉氏反变换得到系统的响应函数 \(Y(s)\rightarrow y(t)\)

\(H(s)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_ks^k}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_ks^k}}=\frac{b_M}{a_N}\frac{\prod\limits_{k=1}^{M}{(s-z_k)}}{\prod\limits_{k=1}^{N}{(s-p_k)}}\)，\(z_k\) 为零点，\(p_k\) 为极点

因果且稳定的 LTI 系统，系统函数的收敛域一定包含虚轴，且系统函数的全部极点一定位于 \(S\) 平面的左半平面

5.6 单边拉普拉斯变换

存在冲激函数及其导数时，\(\mathscr{X}(s)=\int_{0^-}^{\infty}{x(t)e^{-st}\mathrm{d}t}\)

反变换 \(x(t)u(t)=\left[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}{X(s)e^{st}\mathrm{d}t} \right]u(t)\)

• 右边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相同

  双边信号：单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换不同

性质

• 时域微分：\(x^\prime (t)\leftrightarrow s\mathscr{X}(s)-x(0^-)\)

• 时域积分：\(\int_{-\infty}^{t}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}\leftrightarrow \frac{1}{s}\mathscr{X}(s)+\frac{\int_{-\infty}^{0^-}{x(\tau)\mathrm{d}\tau}}{s}\)

6. \(\mathscr{Z}\) 变换

6.1 \(\mathscr{Z}\) 变换

• 双边 \(\mathscr{Z}\) 变换 \(\mathscr{Z}[x(n)]=X(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{x(n)z^{-n}}\)

• 单边 \(\mathscr{Z}\) 变换 \(\mathscr{Z}[x(n)u(n)]=\mathscr{X}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{x(n)z^{-n}}\)

• 收敛域

  • 有限长序列 \(x(n)(n_1\leq n\leq n_2)\)

    • \(n_2>n_1\geq 0\) 或 \(n_2\geq n_1>0\Rightarrow o<\|z\|\leq\infty\)

    • \[n_2>0,n_1<0\Rightarrow 0<\|z\|<\infty\]
    • \(0\geq n_2>n_1\) 或 \(1>n_2\geq n_1\Rightarrow 0\leq\|z\|<\infty\)

  • 右边序列（因果序列）：\(R_r<\|z\|\leq\infty\)

  • 左边序列（反因果序列）：\(\|z\|<R_l\)

  • 双边序列：若 \(R_l>R_r\)，\(R_r<\|z\|<R_l\)；若 \(R_l>R_r\)，没有收敛，没有\(\mathscr{Z}\)变换

• \(\mathscr{Z}\)变换和拉普拉斯变换关系：\(z-e^{sT}\)

• \(\mathscr{Z}\)变换和离散时间傅立叶变换：\(z=re^{j\omega}\)

6.2 常用\(\mathscr{Z}\)变换

• 单位冲激函数：\(\delta(n)\leftrightarrow1(o\leq\|z\|\leq\infty)\)，\(\mathscr{Z}[\delta(n)]=1\)

• 单位阶跃序列：\(u(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}(\|z\|>1)右边序列\)，\(\mathscr{Z}[u(n)]=\frac{1}{1-z^{-1}}\)

• 单边指数序列：\(a^nu(n)\leftrightarrow \frac{z}{z-a}(\|z\|>\|a\|)右边序列\)，\(\mathscr{Z}[a^nu(n)]=\frac{z}{z-a},\|az^{-1}\|<1,\|z\|>a\)

6.3 双边\(\mathscr{Z}\)变换常用性质

• 时域平移：\(x(n-n_0)\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)\)，\(R\) 在原点或无穷远处可能发生变化

• 线性特征：\(a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\leftrightarrow a_1X_1(z)+a_2X_2(z),R_1\cap R_2\in R\)

• 移频特性：\(e^{j\omega_0 n}x(n)\leftrightarrow X(ze^{-j\omega_0}),\) 收敛域不变

• \(\mathscr{Z}\)域尺度变换特性：\(z_0^nx(n)\leftrightarrow X\left(\frac{z}{z_0}\right),\|z_0\|R\)，\(z_0=r_0e^{j\omega_0}\)

• 时域反转特性：\(x(-n)\leftrightarrow X(z^{-1}),\frac{1}{R}\)

• 卷积定理：\(x_1(n)*x_2(n)\leftrightarrow X_1(z)\cdot X_2(z)\)

• \(\mathscr{Z}\)域微分特性：\(nx(n)\leftrightarrow -zX^\prime (z),R\) 不变

• 时域求和性质：\(\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}\leftrightarrow \frac{z}{z-1}X(z),R\cap(\|z\|>1)\)

• 初值定理：\(x(0)=\lim\limits_{z\rightarrow\infty}{X(z)}\)

• 终值定理：除了单位圆上允许有一阶极点之外，其余极点都在单位圆之内

  \[x(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}{[(z-1)X(z)]}\]

6.4 \(\mathscr{Z}\)反变换

\(x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}{X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z}\)，\(C\) 是在收敛域内包围z平面原点的闭合积分路线

幂级数展开法

展开方法(长除法)：对右边的序列按 \(z\) 的降幂的顺序排列；对左边的序列按 \(z\) 的升幂的顺序排列

部分式展开法

6.5 离散时间LTI的\(\mathscr{Z}\)域分析方法

\(\sum\limits_{k=0}^{n}{a_ky(n-k)}=\sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx(n-k)}\)，\(H(z)=\frac{\sum\limits_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}}{\sum\limits_{k=0}^{N}{a_kz^{-k}}}\)